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L’essentiel en 30 secondes
- Le 1er août 2026, OpenAI a publié dix résultats de mathématiques et d’informatique théorique obtenus par Astra, son prochain grand modèle, encore non sorti.
- Chaque résultat est livré avec un certificat Lean, un fichier que n’importe quel ordinateur peut recompiler pour dire « la preuve tient » ou « elle ne tient pas ».
- Ces problèmes n’étaient pas ouverts « depuis une décennie » comme on le lit partout : de 26 à 65 ans selon le cas, l’un d’eux ayant été posé par un professeur de lycée strasbourgeois en 1964.
- La facture de calcul annoncée est de 2 000 dollars de jetons, moins que le prix d’une voiture d’occasion.
- Deux jours plus tard, le catalogue de référence des problèmes d’Erdős affiche toujours ces problèmes comme ouverts : la vérification par machine et la validation par la communauté sont deux choses différentes.
Il y a des annonces d’intelligence artificielle qui parlent de nouvelles fonctions, de nouveaux tarifs ou de nouveaux records sur des tests maison. Celle du 1er août 2026 est d’une autre nature. OpenAI a mis en ligne une publication intitulée « Ten advances in mathematics and theoretical computer science », dix avancées en mathématiques et en informatique théorique, et y a glissé, presque au passage, le nom de son prochain grand modèle : Astra.
Le nom du modèle n’apparaît qu’une fois, au milieu du texte. L’essentiel de la page parle de sphères empilées, de groupes, de graphes et d’algèbres de von Neumann. Autrement dit, de choses que personne ne lit au petit-déjeuner. Et pourtant, cette annonce est probablement la plus importante de l’été pour comprendre où en est vraiment l’IA. Voici ce qu’elle contient exactement, ce qui a été vérifié, et ce qui ne l’est pas encore.
Ce qu’OpenAI a annoncé, et quand exactement
La publication est datée du 1er août 2026 sur le site d’OpenAI. Ce point mérite d’être posé tout de suite, parce que plusieurs sites ont daté l’annonce du 2 août. La page elle-même affiche « August 1, 2026 », et trois traces techniques indépendantes le confirment.
- Le dépôt de code apparaît sur GitHub
Le dépôt public openai/ten-proofs est créé. Il contiendra les fichiers de preuve. Date de création lue dans l’interface de programmation de GitHub.
- Le carnet de bord est compilé
Le document « How the Ideas Came Together », 62 pages où le modèle raconte comment chaque idée est venue, porte cet horodatage de compilation dans ses propriétés.
- Le manuscrit de 249 pages est compilé
Le document principal, signé « OpenAI », est produit à partir de LaTeX. Son sous-titre interne est explicite : « une collection d’articles de recherche par un modèle interne d’OpenAI ».
- Le manuscrit est mis en ligne
Date de dernière modification renvoyée par le serveur de fichiers d’OpenAI pour le PDF public.
- Dernier envoi de code sur le dépôt
Un unique envoi, signé d’un compte GitHub rattaché à OpenAI. Depuis, le contenu n’a plus bougé.
Sur le fond, la formulation officielle est plus prudente que ce que reprennent la plupart des articles. OpenAI écrit qu’il partage « une sélection de dix résultats, dont chacun résout un problème ouvert de longue date ou y fait un progrès substantiel ». Ce n’est pas exactement « Astra a résolu dix problèmes ». Sur les dix, plusieurs sont des réfutations nettes de conjectures, d’autres sont des améliorations de bornes que les spécialistes cherchaient à faire bouger depuis des décennies.
Le chiffre de 2 000 dollars est celui donné par OpenAI : c’est ce qu’auraient coûté, au tarif public de son interface de programmation pour le modèle Sol, tous les jetons nécessaires pour trouver les dix solutions. Sol est l’un des trois modèles de la famille GPT-5.6 sortie début juillet. Le fichier technique du dépôt ajoute une information que personne n’a relevée : le travail a duré environ une semaine, mené par un agent tournant dans Codex, l’environnement de développement autonome d’OpenAI.
Les dix résultats, expliqués simplement
Voici les dix, chacun ramené à la question de départ, avec l’année où elle a été posée et ce qu’Astra a produit. Cliquez sur un domaine pour l’ouvrir.
Le décodeur des dix résultats
Un sujet à la fois, en français, sans formule. Chaque fiche indique depuis quand la question était ouverte et quel fichier de preuve la porte.
Empilement de sphères en grande dimension
La question. Quand on range des billes identiques dans une caisse, on remplit environ 74 % du volume. Et dans un espace à mille dimensions, à un million de dimensions ? Personne ne sait calculer la réponse exacte, alors les mathématiciens encadrent : ils cherchent à abaisser la limite supérieure.
Ce qu’Astra a produit. La méthode de référence, dite programme linéaire de Cohn et Elkies, voit sa force exacte déterminée. L’exposant qui décrit la densité maximale passe de 0,59905576 à 0,6044. C’est la première amélioration de la borne générale depuis 1978, année de la borne de Kabatianskii et Levenshtein. Quarante-huit ans d’immobilité.
Codes correcteurs d’erreurs
La question. Votre téléphone, votre carte bancaire et les sondes spatiales utilisent des codes correcteurs : on ajoute de la redondance pour qu’un message reste lisible malgré le bruit. Combien de messages distincts peut-on faire tenir dans un code donné sans jamais risquer la confusion ?
Ce qu’Astra a produit. Une amélioration exponentielle des bornes classiques, pour toute distance minimale, aussi bien pour les codes binaires que pour les codes sphériques. Là encore, les bornes de référence dataient de 1977 et 1978.
Groupes non sofiques
La question. Un groupe est une structure abstraite décrite par sa table de multiplication. On dit qu’il est « sofique » si on peut approcher fidèlement n’importe quel morceau fini de cette table avec de simples permutations d’un ensemble fini. Mikhaïl Gromov a introduit cette notion en 1999, Benjamin Weiss l’a baptisée en 2000 et a demandé : existe-t-il un groupe qui échappe à cette approximation ?
Ce qu’Astra a produit. Oui, il en existe un, et il est explicitement construit : le groupe des éléments inversibles de l’algèbre de Leavitt binaire. La conjecture de soficité tombe.
Conjecture de rigidité de Connes
La question. À chaque groupe on peut associer un objet analytique, son algèbre de von Neumann. Alain Connes, médaille Fields française, a conjecturé qu’à partir de cette algèbre on pouvait reconstituer le groupe de départ, dans une famille bien précise de groupes. Le problème figure noir sur blanc comme « problème 1 » dans son livre de 1994.
Ce qu’Astra a produit. Un contre-exemple, et même une infinité : des groupes deux à deux différents qui partagent exactement la même algèbre. La conjecture est fausse.
Complexité du permanent
La question. Le permanent d’un tableau de nombres ressemble beaucoup au déterminant, à un signe près, mais il est réputé bien plus coûteux à calculer. Combien d’opérations faut-il, au strict minimum ?
Ce qu’Astra a produit. Deux bornes inférieures : de l’ordre de n² log log n portes pour un circuit sans division, et de l’ordre de n⁴/log n feuilles pour une formule. Le manuscrit explique aussi pourquoi ces arguments ne se transposent pas au déterminant, ce qui est précisément l’intérêt.
Répétition parallèle pour les jeux quantiques
La question. Deux joueurs qui ne peuvent pas communiquer reçoivent chacun une question et doivent donner des réponses compatibles. S’ils ne gagnent pas à coup sûr, leurs chances de gagner cent parties d’affilée s’effondrent-elles très vite ? Ran Raz l’a prouvé en 1995 pour des joueurs classiques. Le cas de joueurs partageant un état quantique intriqué résistait.
Ce qu’Astra a produit. La réponse générale, positive, pour tout jeu fini à deux joueurs intriqués. C’est une brique de base de la cryptographie et de la théorie de la complexité.
Le vecteur le plus proche dans un réseau
La question. Imaginez une grille de points infinie et une cible quelque part au milieu : trouver le point de la grille le plus proche de la cible est un problème réputé très difficile. Cette difficulté est le socle de la cryptographie censée résister aux ordinateurs quantiques, celle qui protégera nos communications demain.
Ce qu’Astra a produit. Une réduction directe depuis un problème de logique classique, qui établit une difficulté d’approximation à un facteur polynomial, sans passer par le théorème PCP ni par aucune hypothèse non prouvée. C’est le plus gros fichier de preuve du lot.
Conjecture du volume d’Ehrhart
La question. Prenez une forme convexe dont le centre de gravité est le seul point à coordonnées entières situé à l’intérieur. Quel est le plus grand volume possible ? Eugène Ehrhart, professeur de mathématiques au lycée Kléber de Strasbourg, l’a demandé en 1964. Il faisait de la recherche sur son temps libre et n’a soutenu sa thèse qu’à 60 ans.
Ce qu’Astra a produit. La borne exacte, en toute dimension, soixante-deux ans après la question et vingt-six ans après la mort de son auteur.
Triangles de Ramsey multicolores
La question. Prenez un groupe de personnes et reliez chaque paire par un trait, que vous coloriez avec l’une de k couleurs. À partir de combien de personnes êtes-vous certain de trouver trois personnes reliées entre elles par trois traits de la même couleur ? Paul Erdős a posé la question en 1961 et offert 250 dollars pour la réponse.
Ce qu’Astra a produit. Une borne inférieure super-exponentielle, qui règle la croissance de ce nombre. C’est le plus petit fichier de preuve du lot, 126 kilooctets, pour l’une des questions les plus célèbres du catalogue.
Compacité et dégénérescence dans les graphes
La question. Combien d’arêtes peut avoir un graphe qui évite absolument un motif donné ? Paul Erdős et Miklós Simonovits ont proposé deux conjectures à ce sujet, l’une en 1982, l’autre en 1984. Une prime de 500 dollars est attachée à l’une d’elles.
Ce qu’Astra a produit. Deux contre-exemples construits, un pour chaque conjecture. Les deux tombent. Ce sont les problèmes 146 et 180 du catalogue d’Erdős.
Sources : la publication d’OpenAI du 1er août 2026, son manuscrit de 249 pages, le fichier README du dépôt openai/ten-proofs, et le catalogue erdosproblems.com pour les dates de première formulation. Tailles de fichiers relevées le 3 août 2026.
« Ouverts depuis une décennie » : la réalité est bien pire
C’est la formule qui revient dans presque toutes les reprises : des problèmes ouverts « depuis au moins dix ans ». Elle est techniquement vraie et pratiquement trompeuse. En remontant aux sources citées par OpenAI lui-même, on obtient des durées d’un tout autre ordre.
| Ce qu’on lit un peu partout | Ce que dit la source primaire | Comment le vérifier |
|---|---|---|
| L’annonce date du 2 août 2026 | 1er août 2026 | Date affichée sur la page d’OpenAI, dépôt GitHub créé le 1er à 06:10, manuscrit compilé à 08:29 |
| Des problèmes ouverts « depuis au moins une décennie » | De 26 à 65 ans selon le problème | Erdős 183 posé en 1961, Ehrhart en 1964, bornes de codes inchangées depuis 1977 et 1978, soficité posée en 1999 et 2000 |
| Astra a résolu dix problèmes | Dix résultats qui « résolvent un problème ouvert ou y font un progrès substantiel » | Texte de l’annonce officielle |
| Les preuves ont été relues | Le dépôt déclare une relecture par agent, pas par des pairs humains | Champ review: status: agent-reviewed du fichier formalization.yaml |
| Astra est le nouveau modèle d’OpenAI | C’est une version interne d’un modèle non sorti | « an internal version of Astra, our next major model » |
Le cas d’Eugène Ehrhart mérite qu’on s’y arrête, parce qu’il dit quelque chose de la temporalité des mathématiques. Né à Guebwiller en 1906, mort à Strasbourg en 2000, il a enseigné les mathématiques toute sa vie dans des lycées, à Nancy, à Lille puis à Strasbourg. Il faisait de la recherche le soir, sur son temps libre, et n’a soutenu sa thèse qu’en 1966, à l’âge de 60 ans, poussé par des collègues universitaires. L’Académie des sciences l’a primé deux fois. Sa question de 1964 vient d’être tranchée par une machine, vingt-six ans après sa mort.
Pourquoi ces preuves sont vérifiables par n’importe qui
C’est le point qui change tout par rapport aux annonces habituelles. Une démonstration mathématique classique se vérifie par la lecture : des spécialistes passent des mois à traquer l’erreur. Ici, chaque résultat est accompagné d’un certificat Lean. Lean est un langage dans lequel on écrit une preuve de façon si stricte qu’un programme peut la contrôler ligne à ligne. Le verdict est binaire : le fichier compile, ou il ne compile pas.
Le dépôt contient un fichier de contrôle, formalization.yaml, qui déclare trois choses intéressantes. D’abord, zéro « sorry » : en Lean, le mot-clé sorry sert à laisser un trou dans une preuve, et il n’y en a aucun. Ensuite, seulement trois axiomes utilisés, les trois axiomes standards de la bibliothèque mathématique de Lean, ce qui signifie qu’aucune hypothèse exotique n’a été glissée en douce. Enfin, une ligne beaucoup moins confortable : review: status: agent-reviewed. La relecture déclarée a elle aussi été faite par un agent.
Ce que « vérifiable » veut dire, concrètement
Avec Lean 4.32 et la bibliothèque mathlib installés, deux commandes suffisent pour reconstruire les dix preuves sur un ordinateur personnel. Le dépôt les documente. C’est un niveau d’exigence que très peu d’annonces « l’IA au service de la science » atteignent : la plupart demandent de croire un communiqué. Ici, l’objet à vérifier est public, sous licence libre, et le verdict ne dépend d’aucune opinion.
Deux jours après, le catalogue de référence affiche toujours « ouvert »
Trois des dix résultats concernent des problèmes du catalogue de Paul Erdős, tenu par le mathématicien Thomas Bloom sur le site erdosproblems.com. Ce site est la référence de fait pour savoir ce qui est résolu et ce qui ne l’est pas. Le 3 août 2026, deux jours après l’annonce, les problèmes 146, 180 et 183 y sont toujours marqués ouverts, avec la mention « aucune solution, partielle ou complète, n’est revendiquée dans les commentaires ».
Il ne faut pas y lire un désaveu. Le site prévient lui-même, dans sa foire aux questions, que sa base de données n’est pas à jour : « Le statut ouvert reflète la conviction actuelle du propriétaire du site. » Thomas Bloom a d’ailleurs publiquement salué les résultats d’Astra en parlant de grande nouvelle, notamment pour les constructions produites. Mais le décalage dit exactement ce qu’il faut retenir : un fichier qui compile n’est pas encore un théorème adopté. Entre les deux, il y a la lecture par des humains, la mise en contexte, la publication, parfois des années.
Ce que cette annonce ne dit pas
Elle ne dit pas qu’Astra est disponible : c’est une version interne d’un modèle non sorti, sans date de sortie ni nom commercial définitif. Elle ne dit pas non plus que les mathématiciens sont remplacés. Thomas Bloom l’a formulé ainsi : l’idée d’un remplacement a peu de sens quand l’IA s’appuie sur plus d’un siècle de théorie mathématique, a été construite par des mathématiciens et entraînée sur tout ce que les mathématiciens ont jamais écrit. Enfin, aucun des dix problèmes ne fait partie des problèmes du millénaire, ces sept grandes questions dotées d’un million de dollars chacune.
Les mathématiciens avaient posé leurs conditions deux mois plus tôt
Le passage le plus révélateur de l’annonce est celui qu’OpenAI a intitulé « Responsabilité envers la communauté mathématique ». L’entreprise y cite explicitement la déclaration de Leiden sur l’intelligence artificielle et les mathématiques, publiée le 2 juin 2026, soutenue par l’Union mathématique internationale et signée par plusieurs milliers de personnes, dont Terence Tao et Peter Scholze.
Cette déclaration liste cinq risques que l’IA fait peser sur les mathématiques. L’un d’eux vise précisément les résultats annoncés « par communiqué ou par billet de blog avant toute relecture par les pairs », qui simplifient à l’excès et donnent au public une image faussée des capacités réelles. OpenAI a annoncé ses dix résultats par un billet de blog, avant toute relecture par les pairs. L’entreprise ne s’en cache pas et répond sur un autre terrain, celui de l’attribution :
Revendiquer une paternité humaine pour une preuve entièrement produite par un système d’IA donnerait une image fausse à la fois de la contribution du système et de la nature du travail intellectuel humain.
OpenAI, publication du 1er août 2026 (traduit de l’anglais)
Autrement dit : les arguments mathématiques viennent du modèle, les humains d’OpenAI ont préparé les manuscrits, formalisé en Lean et assument la correction. C’est une position claire, et elle tranche avec les articles où une IA est remerciée en note de bas de page. Reste que la question de fond posée par les signataires de Leiden n’est pas réglée : qui relit, et selon quel calendrier ?
Ce que ça change pour vous
Trois choses, très concrètement.
- Deux de ces résultats touchent à ce qui protège vos données. Le problème du vecteur le plus proche est le socle de la cryptographie post-quantique, celle qui doit remplacer nos protections actuelles quand les ordinateurs quantiques seront capables de les casser. Renforcer sa difficulté prouvée, c’est consolider les fondations. Les codes correcteurs, eux, font fonctionner votre téléphone et vos paiements sans que vous le sachiez.
- Le critère de crédibilité d’une annonce d’IA vient de monter d’un cran. Jusqu’ici, on jugeait sur des scores à des tests dont l’éditeur choisit la liste. Une preuve formelle publiée sous licence libre ne se discute pas de la même façon. La prochaine fois qu’un éditeur annonce une percée scientifique, la bonne question sera simple : où est l’objet vérifiable ?
- Le coût du raisonnement s’effondre. Deux mille dollars de calcul pour dix résultats, sur des questions restées ouvertes quarante ou soixante ans, c’est moins que la prime que Paul Erdős lui-même avait promise sur deux d’entre eux. Ce rapport-là est nouveau, et il explique pourquoi la course aux capacités de calcul mobilise aujourd’hui des États entiers.
Pour le reste, la prudence reste de mise, et elle ne vient pas de nous : elle vient des mathématiciens eux-mêmes. On a déjà vu des modèles d’OpenAI dépasser ce qu’on attendait d’eux dans des contextes bien moins encadrés. Si vous découvrez l’univers de ces modèles, notre guide complet de l’IA reprend les bases, et notre point sur Claude Opus 5 montre à quel rythme la concurrence avance de son côté. En Europe, pendant ce temps, ce sont les obligations de signalement des contenus produits par IA qui viennent de changer.
Questions fréquentes
Astra, c’est le successeur de GPT-5.6 ?
OpenAI le présente comme « notre prochain grand modèle ». Le nom commercial définitif n’est pas fixé, et rien n’indique officiellement qu’il s’appellera GPT-6. Ce qui est certain, c’est que les résultats publiés ont été obtenus par une version interne, pas par un produit accessible au public.
Peut-on utiliser Astra aujourd’hui ?
Non. Aucune date de disponibilité n’a été communiquée le 1er août. Le tarif cité dans l’annonce, celui qui donne les 2 000 dollars, est celui du modèle Sol de la famille GPT-5.6, déjà commercialisé, et sert seulement d’ordre de grandeur.
Comment être sûr que les preuves sont justes ?
En les recompilant. Les fichiers Lean sont publics sur GitHub sous licence Apache 2.0. Avec la bonne version de Lean et la bibliothèque mathlib, un ordinateur personnel dit oui ou non. C’est le seul domaine de l’IA où cette vérification indépendante est possible sans faire confiance à l’éditeur, et c’est exactement pour cela que l’annonce compte.
Pourquoi les catalogues affichent-ils encore « ouvert » ?
Parce que la mise à jour d’un catalogue suit la validation par la communauté, pas la publication d’un fichier. Le site erdosproblems.com précise dans sa foire aux questions que sa base n’est pas à jour et invite chacun à faire sa propre recherche bibliographique. Il faudra du temps, des lectures et probablement des publications dans des revues avant que le statut change.
Est-ce que l’IA remplace les mathématiciens ?
Aucun des acteurs concernés ne le soutient, y compris ceux qui ont salué le résultat. Un modèle entraîné sur l’ensemble de la littérature mathématique produite par des humains ne remplace pas la discipline qui l’a nourri. Ce qui change, c’est la répartition du travail : la recherche d’un argument peut être déléguée, la mise en contexte, l’interprétation et la décision de ce qui mérite d’être cherché restent humaines.
Deux mille dollars, c’est vraiment tout ?
C’est le chiffre annoncé par OpenAI pour les jetons nécessaires à la découverte des solutions, au tarif public du modèle Sol. Il ne comprend ni l’entraînement du modèle, ni le travail humain de rédaction et de formalisation, ni les tentatives infructueuses. Un chercheur d’OpenAI a d’ailleurs précisé publiquement qu’ils n’avaient pas beaucoup dépensé par problème et qu’il serait possible d’aller bien plus loin.
En résumé
OpenAI a annoncé le 1er août 2026 dix avancées mathématiques obtenues par Astra, son prochain grand modèle, sur des questions ouvertes depuis 26 à 65 ans, et a publié les preuves sous une forme qu’un ordinateur peut contrôler. C’est la première fois qu’une annonce de ce genre arrive avec son propre outil de vérification, et c’est ce qui la distingue de tout ce qu’on a lu jusqu’ici. Il faudra maintenant des mois pour que la communauté mathématique fasse son travail. En attendant, deux faits sont solides : les fichiers compilent, et les catalogues n’ont pas encore bougé.
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Sources primaires consultées le 3 août 2026 : la publication « Ten advances in mathematics and theoretical computer science » sur openai.com, datée du 1er août 2026 ; le manuscrit de 249 pages et le carnet de bord de 62 pages hébergés sur le serveur de fichiers d’OpenAI ; le dépôt github.com/openai/ten-proofs et son fichier formalization.yaml ; le catalogue erdosproblems.com pour les problèmes 146, 180 et 183 ; la déclaration de Leiden du 2 juin 2026 ; et la notice biographique d’Eugène Ehrhart publiée par l’université de Strasbourg. Les propos de Thomas Bloom et du chercheur d’OpenAI sont rapportés par The Decoder à partir de leurs publications sur X.
